תנו לגדול בשקט. תנו לגדול בשקט

לכן, הוכחה פורמלית לא בהכרח מהווה הוכחה־במובן־הרגיל של נכונות, ובאותו אופן, היעדר הוכחה פורמלית לא בהכרח מעיד על היעדר הוכחה־במובן־הרגיל הסיפור מלמד מעט על אופיו של גדל, אבל כאן מעניין אותנו היבט אחר שלו: גדל התעניין במציאת דקויות לוגיות במקומות בלתי־צפויים
במידה והיה אלגוריתם לבדיקה האם הדבר לא היה טכני ומידי? Most mathematicians, such as David Hilbert, the towering figure of the previous generation of mathematicians, and still alive when Gödel was a young man, were formalists זה כשלעצמו לא אומר כלום על האקסיומות של התורה; יכולות להיות לה מעט, הרבה, פשוטות, מסובכות, לא חשוב

תנו לגדול בשקט

התחושה הרווחת בקרב רבים כיום, בוודאי אצלי, היא שיסודות המתמטיקה הם בטוחים באופן הכי ברור שאפשר לקוות לו.

תנו לגדול בשקט
אם מישהו רוצה לשסות את גדל באיזה תחום לא מתמטי, נניח סוציולוגיה, הוא עשוי לסבור שאת אקסיומות פאנו אולי אין לו אבל משהו חלש יותר כן
תנו לגדול בשקט
לשיטה האקסיומטית במתמטיקה יש כמה מאפיינים ייחודיים, וכדאי להזכיר שלושה מהם
תנו לגדול בשקט
אבל אולי ייחסתי לך רק בטעות עמדה כזו
אני אחכה בסבלנות שתגשים את הבטחתך לשאול שאלות טפשיות אבל — וזו נקודה חשובה — כדי שמשפט גדל יחול על תורה, היא חייבת לכלול כמות מסויימת של אריתמטיקה — כלומר, דרוש שאפשר יהיה לנסח ולהוכיח בה מספר משפטים בסיסיים בתורת המספרים
בפרט, אין לי מושג למה היה זה הכרחי לחנוט את לנין אבל חבל שישתמע מהמאמר כאילו לא יכולות להיות להם השלכות פילוסופיות

תנו לגדול בשקט

תפיסה שגויה אחרת בהקשר זה גורסת כי הוכחת משפט גדל כרוכה ב"קפיצה מחוץ למערכת", או שהיא מעין מטא־הוכחה הדורשת הסתכלות "מבחוץ".

5
תנו לגדול בשקט
ואין לי אף מערכת ספציפית בראש
תנו לגדול בשקט
במילים אחרות, אתה מניח כמובן מאליו ש"משפט גדל הוא משפט מתמטי הדן, בסופו-של-דבר, במניפולציות פורמליות של סימנים על נייר"; כלומר, ברור לך שכמשפט מתימטי אין בו שום עניין מעבר לעניין שהמתימטיקאים מגלים, משום מה, בכל מיני פורמליזמים שהם נהנים להתעסק איתם
תנו לגדול בשקט
מה גדל בכלל לא יש עוד שלל דוגמאות לטיעונים מופרכים הנשענים על אי־הבנה של משפט גדל, ולא נוכל למנות אפילו את רובם
עכשיו נבנה תורה מלאכותית Z שהאקסיומות שלה הן בדיוק אלו של PA, יחד עם אקסיומה אחת נוספת האומרת "PA איננה עקבית" הטענה G המופיעה בניסוח המשפט הראשון מכונה לפעמים "נוסחת גדל עבור T", ולעיתים טועים וקוראים לה "משפט גדל"
אבל זה לא מה שרציתי לשאול איזה מתמטיקאי ימצא או, אפילו יוכיח כלל שאומר איזה תורות שלמות ואיזה לא

תנו לגדול בשקט

כאמור, מערכת שעליה משפטי-גדל תקפים צריכה "להכיל" את הטבעיים במובן שתיארתי לייצג את המספרים, ולהוכיח עליהם כמה עובדות פשוטות.

16
תנו לגדול בשקט
ככה שיש איזו היתממות, כך נראה לי, לא מכוונת מן הסתם, בהתכחשות להשלכות החוץ-מתימטיות של משפטי גדל
תנו לגדול בשקט
מבחינתי כקוראת, הדיון בין ד
תנו לגדול בשקט
מעניין אותי לבחון משהו, ואני מקווה שאני לא מעיר כאן שדים מסוכנים מדי מרבצם